上期回顾

上期文章中,我们了解了Lattice Trapdoor的第一个实践用处——即身份加密IBE。同时,我们也看到了最简单的CHKP10 IBE身份加密系统。

粗略的概括一下CHKP10做了什么:我们把代表Identity(身份)的\(ID\)拆分成二进制的bits,然后每一位都对应选择一个LWE的矩阵\(\mathbf{A}_i^b\)。我们最终把这些选好的矩阵全部拼接起来,再通过实现预留的Trapdoor找到对应这个大矩阵的密钥,就可以进行Dual Regev的加解密了。

像这种根据Identity的每一个bit选择矩阵组合起来变成一个新矩阵的构造在密码学中非常常见,这里先留作一个悬念,如果后面有机会写到基于GGH15的Multilinear Map而实现的Indistinguishability Obfuscation(iO)的话,我们会发现非常相似的构造。

在上期的最后,我们同样也发现了CHKP10构造的一个缺陷:公钥的大小和ID的长度是等比线性增长的,这会大大影响这个IBE体系的存储空间和计算效率。

其实呢,CHKP10只是我们了解完Lattice Trapdoor之后入门的第一种IBE构造。同样是在2010年,整个密码学圈子里还诞生出了另一种IBE的构造——ABB10

【ABB10】IBE加密系统

ABB10,顾名思义,是由Agrawal,Boneh与Boyan三位在2010年提出的。ABB10不同于CHKP10的是:它的加密矩阵\(\mathbf{F}_{ID}\)是恒定大小的,并不会随着\(ID\)的长度变长而变大。我们来看看ABB10的具体构造吧。

公共参数生成

ABB10的公共参数生成较为简单。首先,我们需要指定两个随机的问题矩阵\(\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1\),以及SIS问题的结果向量\(\mathbf{u}\)。最后,我们还需要借助之前讨论过的工具矩阵\(\mathbf{G}\)。

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我们生成\(\mathbf{A}_0\)的时候,需要通过之前的Trapdoor生成方法来生成。\(\mathbf{A}_0\)的Trapdoor \(\mathbf{R}\)就是我们的MSK了。

乍一看,参数生成的部分和CHKP10基本相似。真正有区别的地方在于ID矩阵的生成。

生成ID矩阵

首先,我们设定用户的身份\(ID\)为一个正整数。

计算ID矩阵\(\mathbf{F}_{ID}\)的方法很简单,我们只需要把\(ID\)的值乘以\(\mathbf{G}\)矩阵,然后叠加在\(\mathbf{A}_1\)上即可:

\[\mathbf{F}_{ID} = [\mathbf{A}_0 \vert \mathbf{A}_1 + ID \times \mathbf{G}]\]

对应某个\(ID\)的密钥\(\mathbf{e}_{ID}\)和之前一样,就是基于\(\mathbf{F}_{ID}\)的SIS问题的短向量解:

\[\mathbf{F}_{ID} \cdot \mathbf{e}_{ID} = \mathbf{u} \text{ mod }q\]

找到这个密钥的方法也和CHKP10是一样的,因为我们知道了\(\mathbf{A}_0\)的Trapdoor \(\mathbf{R}\),所以不管我们怎么变换\(\mathbf{A}_1\)位置上的值,永远都可以找到整个\(\mathbf{F}_{ID}\)的SIS解。

IBE加密

为了完整性与正确性,我们来快速的看一下ABB10下是如何实现加密算法的。

和CHKP10一样,我们使用Dual Regev的加密算法来加密\(\mu\)。首先我们选择一个随机的向量\(\mathbf{s}\)和对应的噪音\(\mathbf{x}, x\),随后输出:

\[Enc(\mu \in \{0,1\}, ID) \rightarrow \\ (c_0 = \mathbf{F}_{ID}^t \mathbf{s} + \mathbf{x}, c_1 = \mathbf{u}^t \mathbf{s} + x + \lfloor q/2 \rfloor \mu)\]

IBE解密

解密的过程也非常相似,我们只需要计算\(c_1 - \mathbf{e}^t c_0\)即可:

\[c_1 - \mathbf{e}^t c_0 = \lfloor q/2 \rfloor \mu + x - \mathbf{e}^t \mathbf{x} \approx \lfloor q/2 \rfloor \mu\]

ABB10的安全论证

了解完ABB10的构造之后,接下来最重要的部分就是安全性的论证了。再上一篇文章研究CHKP10的时候,我们已经学习了关于Simulation的这一概念。这也就是说,只要我们能够在不知道MSK的情况下“模拟”出整个IBE体系,并且与Adversary成功进行交互,那么就代表这个体系是安全的。

具体来说的话,这个论证需要以下的要求:

  1. Adversary任意选择一个自己的身份\(ID^*\)。
  2. 我们作为Challenger并不知道\(ID^*\)对应的密钥,所以也不能知道MSK。
  3. Challenger需要能够提供给Adversary任何其他的\(ID_i \ne ID^*\)所对应的IBE密钥。
  4. 最后,Challenger需要根据Adversary的身份以及提供的\(m_0, m_1\)构造出一个IBE密文。如果Adversary可以破解这个密文的语义安全(即可以分辨密文中到底是哪条消息),那么我们可以利用这个Adversary来解决格中的难题。

我们逐步讨论每一个环节。

IBE身份矩阵的生成

在上文中,我们已经知道了ABB10 IBE的身份矩阵的构造:

\[\mathbf{F}_{ID} = [\mathbf{A}_0 \vert \mathbf{A}_1 + ID \times \mathbf{G}]\]

接下来,我们需要巧妙的利用这个结构,构造出我们想要的\(\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1\),进而能满足前三个要求。

首先,因为我们不能知道MSK,所以我们需要诚实的构造\(\mathbf{A}_0\)矩阵,即随机的选择一个没有Trapdoor的平均分布矩阵。

接下来,我们需要想办法把\(ID^*\)这一特殊的身份嵌入在我们的\(\mathbf{F}\)矩阵当中。为什么呢?因为上述的要求表示,我们需要恰好在\(ID^*\)这个身份上失去生成密钥的能力,然而对于其他的身份,我们仍然可以生成有效的IBE密钥。

因为我们实现就知道了Adversary的身份\(ID^*\),所以我们可以随机选择一个矩阵\(\mathbf{R}\),然后设定\(\mathbf{A}_1\)的值为:

\[\mathbf{A}_1 = [\mathbf{A}_0 \mathbf{R} - ID^* \times \mathbf{G}]\]

这样一来,如果我们把\(\mathbf{A}_1\)代入回原本的\(\mathbf{F}\)矩阵的话,那么就会变成这样:

\[\mathbf{F}_{ID} = [\mathbf{A}_0 \vert \mathbf{A}_0 \mathbf{R} + (ID - ID^*) \times \mathbf{G}]\]

一旦出现了这样的结构,这个身份矩阵\(\mathbf{F}_{ID}\)就变得非常特殊了。首先,如果\(ID \ne ID^*\)的话,那么我们就会得到一个类似于MP12给出的Lattice Trapdoor一样的构造:

\[\mathbf{A} = [\mathbf{B} \vert \mathbf{G} - \mathbf{BR}]\]

这里的\(\mathbf{A}_0\)对应了\(\mathbf{B}\),唯一的区别只是\(\mathbf{G}\)和\(\mathbf{BR}\)的符号发生了变化而已,然而这并不会影响我们生成Trapdoor的能力。因为\(\mathbf{R}\)是我们自己选取的,这个\(\mathbf{R}\)就可以被当作Trapdoor来使用,从而生成任何\(\mathbf{F}_{ID \ne ID^*}\)对应的IBE密钥。

最后,我们再来看如果\(ID = ID^*\)的情况下,我们会发现带有\(\mathbf{G}\)的这一项彻底的消失了vanished)!这样以来,整个矩阵就变成了:

\[\mathbf{F}_{ID} = [\mathbf{A}_0 \vert \mathbf{A}_0 \mathbf{R}]\]

因为\(\mathbf{A}_0, \mathbf{R}\)都是随机选择的平均分布矩阵,所以整个\(\mathbf{F}_{ID}\)也是一个平均分布的没有Trapdoor的矩阵了。一旦失去了\(\mathbf{G}\)之后,就没有办法把基于\(\mathbf{F}_{ID}\)的SIS或者LWE问题规约到之前讨论过的\(f_\mathbf{G}^{-1}, g_\mathbf{G}^{-1}\)上,我们也就不能轻松求解SIS或者LWE了。

如果Adversary仍然可以分辨出基于\(\mathbf{F}_{ID}\)下的密文的话,那么这代表Adversary可以不借助任何Trapdoor还原SIS问题的解。这一能力超出了我们对于SIS问题困难度的假设,所以是不存在的。如果存在的话,我们就可以拿这个Adversary出去任意的破解其他的SIS问题。

Simulation与实际的比较

最后,我们再来比较一下上述描述的Simulation与实际的IBE加密算法。

在实际的版本中,我们所生成的MSK就是\(\mathbf{A}_0\)的Trapdoor,如果是通过我们之前描述的MP12构造的话,那么就是\(\mathbf{R}\)矩阵。因为我们知道了\(\mathbf{A}_0\)的Trapdoor,我们就可以随机的选择\(\mathbf{A}_1\)。

在Simulation中,我们使用了\(\mathbf{A}_0 \mathbf{R} - ID^* \times \mathbf{G}\)来构造\(\mathbf{A}_1\)矩阵。因为\(\mathbf{R}\)是随机选择的,根据Leftover Hash Lemma,我们可以推测出\(\mathbf{A}_1\)的分布对于不知道\(\mathbf{R}\)的人来说也是随机平均分布的!这里的MSK就是我们选择的\(\mathbf{R}\)。

我们相比两种情况下的MSK与\(\mathbf{A}_0, \mathbf{A}_1\)之后,会发现其实不管是实际版本还是Simulation,我们选择的参数的概率分布都是一样的。这也就是说,如果我们把某个体系中Challenger与Adversary沟通的Transcript(通讯记录)存下来,给另一个人看,那么那个人并不能分辨这个Transcript所对应的是实际的还是Simulation。这就是密码学中统称的Indistinguishability不可分辨性)。

一旦我们证明了实际版本与Simulation的不可分辨性之后,我们的安全论证也就基本完成了。如果快速的回顾一下核心的话, 那就是我们可以把\(ID^*\)这个身份嵌入在\(\mathbf{F}_{ID}\)矩阵当中,从而导致当\(ID = ID^*\)的时候,Trapdoor就自然消失了。这一巧妙的构造让我们可以在不知道\(ID^*\)的密钥的情况下,正确的生成其他的\(ID \ne ID^*\)的密钥。